Brody Reid

Modelos analíticos de velocidad tangencial en vórtices de tornado

Brody Reid — 18 de diciembre de 2018

Actualizado el 13 de marzo de 2026
Esta es una versión revisada del artículo original de 2018. El conjunto de datos observacionales ha sido reemplazado con perfiles de viento tangencial derivados por GBVTD del tornado de Mulhall, Oklahoma (1999), obtenidos de Lee y Wurman (2005), los cuales proporcionan una imagen más completa de la estructura del vórtice a múltiples altitudes.

Resumen: Examinamos tres modelos analíticos de velocidad tangencial en vórtices de tornado (los modelos de Rankine, Burgers-Rott y Arsen’yev) en orden creciente de complejidad física. Los modelos de Rankine y Burgers-Rott son sencillos y ampliamente utilizados, pero ambos decaen como $1/r$ fuera del núcleo del vórtice, prediciendo velocidades de viento notables lejos del tornado. Siguiendo el trabajo de Arsen’yev, derivamos una ecuación de velocidad tangencial que incluye la fricción con el suelo, la disipación turbulenta y la estructura vertical de la tormenta. El perfil resultante presenta un decaimiento exponencial basado en $\operatorname{sech}$ que mantiene los vientos fuertes cerca del núcleo. Comparamos los tres modelos con perfiles de viento tangencial del tornado de Mulhall, Oklahoma de 1999 a cuatro altitudes. El modelo de Arsen’yev se ajusta bien al decaimiento exterior cuando se calibra con las observaciones promediadas en altura. Sin embargo, subestima la velocidad máxima y ubica el máximo a un radio demasiado grande. Esto ocurre porque el modelo promedia sobre la altura, por lo que no captura cómo varían los vientos con la altitud.

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1. Introducción

La mayor parte de lo que sabemos sobre la dinámica de fluidos de los tornados proviene de experimentos de laboratorio, ya que obtener datos de tornados reales bajo condiciones controladas es muy difícil [6]. Estos experimentos consisten en observar un fluido en una cámara de vórtice y derivar leyes sobre su comportamiento. Estas observaciones nos permiten caracterizar aspectos de los tornados que de otra manera serían demasiado difíciles de obtener. Muchos modelos simples de vórtice se han desarrollado con este método. Otros modelos simples se han derivado puramente de la mecánica de fluidos y frecuentemente describen el comportamiento de un fluido ideal. Sin embargo, como sabemos, la naturaleza no es ideal. Entonces, un problema con los modelos derivados de esta manera es que no son muy físicos. Por lo tanto, debemos buscar los matices y detalles que nos den una descripción precisa del sistema físico. Dos modelos simples de vórtice muy exitosos son el modelo de Rankine y el modelo de Burgers-Rott. Debido a su sencillez, son fáciles de manejar y pueden interpretarse y aplicarse fácilmente a sistemas de flujo básicos. Sin embargo, su diseño sencillo omite mucha información, especialmente cuando se adaptan para ajustarse a un sistema físico.

Un modelo más sofisticado de velocidades de vórtice fue derivado por Arsen’yev [4]. Usando la teoría establecida por Arsen’yev, derivamos exitosamente una ecuación para la velocidad tangencial dentro de un vórtice de tornado. El modelo de Arsen’yev incluye muchas más consideraciones físicas que los modelos mencionados anteriormente. Debido a esto, sacrifica simplicidad por precisión.

Trabajaremos en coordenadas cilíndricas donde $u$, $v$ y $w$ son las componentes $r$, $\theta$ y $z$ de la velocidad, respectivamente. Es decir, $u = dr/dt$, $v = d\theta/dt$ y $w = dz/dt$.

2. Modelos

2.1 Modelo de Rankine

Uno de los modelos simples de vórtice más famosos fue desarrollado por W. J. Rankine en 1882 [1]. Demostró que para un vórtice de radio $R$, la velocidad tangencial $v(r)$ de una parcela de fluido en el vórtice puede modelarse como

$$ v(r) = \begin{cases} \dfrac{\Gamma r}{2\pi R^2} & r \leq R \\[1em] \dfrac{\Gamma}{2\pi r} & r > R \end{cases} $$

donde $\Gamma$ es la circulación del vórtice, es decir, una medida de cuánto está girando el fluido en general [7, 8]. Más precisamente, si uno caminara en un circuito cerrado alrededor del vórtice y sumara la componente de velocidad a lo largo de su trayectoria en cada punto, el total obtenido sería $\Gamma$. Un $\Gamma$ grande significa que el vórtice gira rápido; un $\Gamma$ pequeño significa que gira lentamente. Aunque simple, este modelo es poderoso. Por ejemplo, se ha utilizado para modelar velocidades de viento en huracanes con el fin de predecir mejor su formación y trayectoria [9].

Sin embargo, por más útil que sea, este modelo tiene muchos defectos. Nótese la transición poco realista en la frontera $r=R$ como se muestra en la Figura 1. Este punto no diferenciable es un problema para cualquiera que busque aplicar este modelo a vórtices físicos. Otro defecto es que este modelo no considera ninguna velocidad en las direcciones radial o vertical. El siguiente modelo, desarrollado por Burgers y Rott, aborda estos problemas.

2.2 Modelo de Burgers-Rott

Más tarde, en 1948, J. M. Burgers demostró que existía un modelo de vórtices más preciso físicamente [2]. En 1958, N. Rott mejoró el trabajo de Burgers y nos dio el modelo de Burgers-Rott [7, 3]:

$$ v(r) = \dfrac{\Gamma}{2\pi r}\left(1 - e^{-\alpha\rho r^2/2\mu}\right), \tag{1}\label{burgers} $$

donde $\rho$ es la densidad del fluido, $\mu$ es su viscosidad y $\alpha$ es una constante. A diferencia del modelo de Rankine, el modelo de Burgers-Rott también proporciona velocidades radial y vertical ($u = -\alpha r$, $w = 2\alpha z$), haciéndolo más realista físicamente. También nótese que hay una transición más realista en la frontera del vórtice (Figura 2). Estas dos mejoras al modelo de Rankine hacen del modelo de Burgers-Rott un mejor candidato para describir con precisión los vórtices de tornado. Un candidato aún mejor es el modelo de Arsen’yev, que presentamos a continuación.

2.3 Modelo de Arsen’yev

Los modelos de Rankine y Burgers-Rott tratan un vórtice como un flujo abstracto; ninguno toma en cuenta las fuerzas específicas que impulsan un tornado. El enfoque de Arsen’yev es diferente: parte de la aceleración radial del aire e incorpora desde el principio la fricción con el suelo, la disipación turbulenta y la estructura vertical de la tormenta [4]. El precio de este realismo es una derivación más larga, pero la recompensa es un perfil de velocidad que puede compararse directamente con mediciones de radar de tornados reales.

Planteamiento de la ecuación de movimiento

La derivación comienza integrando la aceleración radial $\partial u/\partial t$ sobre la altura del tornado, desde el suelo hasta la parte superior de la tormenta. Esto produce una sola cantidad $S$ que suma todo el movimiento de aire hacia adentro (o hacia afuera) a lo largo de toda la altura del vórtice a un radio dado. En otras palabras, $S$ nos dice qué tan fuertemente se está jalando el aire hacia adentro en ese radio.

Arsen’yev demostró que $S$ satisface la siguiente ecuación de movimiento [4]:

$$ \frac{\partial S}{\partial t} = \frac{gh}{c}\frac{\partial S}{\partial r} + \alpha S^2 - f S + A_H \frac{\partial^2 S}{\partial r^2}, \tag{2}\label{dsdt} $$

donde $c$ es la velocidad de onda y $g$ es la constante gravitacional. Cada término del lado derecho juega un papel físico distinto. El primer término, $(gh/c)\,\partial S/\partial r$, describe cómo el flujo radial transporta perturbaciones hacia afuera desde el núcleo del vórtice. El término $\alpha S^2$ representa una amplificación causada por la fricción entre el tornado y el suelo ($\alpha$ es proporcional a esta fricción). Por sí solo, este término haría que el flujo creciera sin límite, pero es controlado por el término de amortiguamiento $-fS$, donde $f$ está relacionado con el arrastre en la parte superior del tornado. Cuando $S = 1$ estas dos fuerzas se equilibran; cuando $S > 1$ la amplificación gana. El último término, $A_H\,\partial^2 S/\partial r^2$, representa la dispersión. El coeficiente $A_H$, a veces llamado viscosidad turbulenta, mide qué tan efectivamente la turbulencia suaviza las diferencias en el flujo radial de un radio al siguiente [10].

Reducción a una ecuación diferencial ordinaria

Buscamos una solución tipo onda de la forma $S = F(\chi)$ donde $\chi \equiv r + ct$. Al sustituir esto en $\eqref{dsdt}$, la ecuación diferencial parcial se convierte en una ecuación diferencial ordinaria (EDO) en $F$. Para que esto funcione (para que la solución viaje hacia afuera como una onda sin crecer ni decrecer), la velocidad de onda debe ser $c = \sqrt{gh}$. A esta velocidad particular, el primer término del lado derecho de $\eqref{dsdt}$ se cancela exactamente, dejando un equilibrio entre fricción, amortiguamiento y dispersión [11]. La EDO resultante es

$$ A_H F'' + \alpha F^2 - fF = 0. \tag{3}\label{ode1} $$

Esta ecuación equilibra tres efectos: dispersión ($A_H F''$), amplificación por fricción ($\alpha F^2$) y amortiguamiento ($fF$). La dispersión suaviza el perfil, mientras que el empuje y jalón entre los otros dos términos determina qué tan alto es el pico.

Resolución de la EDO

Un truco útil para EDOs como esta es multiplicar ambos lados por $F'$. Al hacerlo, cada término puede escribirse como la derivada de algo, lo que significa que podemos integrar toda la ecuación en un solo paso. Esto reduce el problema a una EDO más simple de primer orden que podemos resolver separando variables.

Definiendo $\beta \equiv 3f/2\alpha$ (que controla qué tan grande puede ser la solución) y llevando a cabo la integración, usamos la identidad $\tanh^2(x) = 1 - \operatorname{sech}^2(x)$ para llegar a una fórmula explícita para $S$:

$$ S = \beta \operatorname{sech}^2\left( \frac{\chi}{\Delta} \right), \tag{4}\label{sech} $$

donde $\Delta \equiv \sqrt{6A_H/\alpha\beta}$ controla qué tan ancho es el perfil de velocidad. La función $\operatorname{sech}^2$ tiene un pico agudo en el centro y cae a cero en ambos lados, como una curva de campana pero con colas más pronunciadas. Esto nos dice que el aire que es jalado hacia adentro se concentra en una banda estrecha alrededor del núcleo del vórtice y decae rápidamente con la distancia.

Del flujo radial a la velocidad tangencial

La cantidad $S$ describe el momento radial, pero lo que realmente queremos es la velocidad tangencial $v(r)$. Para conectar las dos necesitamos una relación física más: dentro del tornado, la presión que empuja el aire hacia adentro está equilibrada por el empuje hacia afuera del movimiento de giro. Este equilibrio se expresa como

$$ \frac{\partial p}{\partial r} = \rho \frac{v^2}{r}, \tag{5}\label{dpdr} $$

donde $p$ es la presión del aire y $\rho$ es la densidad del aire [4]. Esto dice que en cada radio, la presión hacia adentro es exactamente la necesaria para mantener el aire moviéndose en círculo (esta es la misma razón por la que el agua sigue girando en un remolino).

También necesitamos la relación entre presión y altura: $p = p_0 + \rho g(z - \zeta)$, donde $p_0$ es la presión a nivel del suelo. Arsen’yev demostró que $\zeta = S/c$, así que podemos sustituir nuestra solución $\operatorname{sech}^2$ para $S$ y obtener la presión en la parte superior del tornado [4]. A partir de ahí, tomamos la derivada con respecto a $r$, sustituimos en $\eqref{dpdr}$ y resolvemos para $v$:

$$ \boxed{v(r) = \operatorname{sech}\left( \frac{r + ct}{\Delta} \right) \sqrt{\frac{2g\beta}{c\Delta}\, r \tanh\left( \frac{r + ct}{\Delta} \right)}} $$

Esto nos da la velocidad tangencial en el radio $r$ y el tiempo $t$. Vale la pena notar algunas cosas sobre la ecuación. El factor $\operatorname{sech}$ al frente hace que la velocidad caiga rápidamente lejos del centro, lo cual coincide con cómo funcionan los tornados: los vientos intensos se concentran en un área pequeña. El factor $\sqrt{r\,\tanh}$ fuerza la velocidad a cero justo en el centro ($r = 0$) y crea un pico en el borde del vórtice, tal como lo vemos en tornados reales. Finalmente, el parámetro $\Delta$ controla qué tan agudo es ese pico: un tornado con más turbulencia interna ($A_H$ más grande) tiene un pico de velocidad más ancho y gradual.

El panel inferior de la Figura 3 resalta una diferencia clave entre los modelos. Tanto el modelo de Rankine como el de Burgers-Rott decaen como $1/r$ fuera del vórtice, lo que significa que las velocidades del viento permanecen notablemente distintas de cero incluso lejos del núcleo. El modelo de Arsen’yev, por el contrario, hereda un decaimiento exponencial de su factor $\operatorname{sech}$, por lo que la velocidad cae a casi cero en apenas unos cuantos radios de vórtice. Este decaimiento más rápido es más físico: la fuerza de los tornados reales se concentra estrechamente alrededor del vórtice y disminuye rápidamente con la distancia. Las velocidades residuales predichas por los modelos más simples son un artefacto de su construcción matemática, no algo físico.

3. Discusión

Los perfiles de velocidad del tornado de Mulhall revelan una estructura clara y consistente en los distinos niveles (Figura 4). En cada nivel, el viento tangencial aumenta abruptamente desde casi cero en el centro, alcanza un pico agudo alrededor de $r \approx 0.5$ km, y luego decae gradualmente con el aumento del radio. La velocidad máxima varía fuertemente con la altura, desde aproximadamente 78 m/s cerca de la superficie (50 m sobre el nivel del suelo) hasta aproximadamente 29 m/s a 950 m sobre el nivel del suelo, mostrando cómo los vientos del vórtice se intensifican cerca del suelo donde la fricción superficial concentra el momento angular. Esto por sí solo muestra por qué los modelos de un solo nivel son solo una primera aproximación a la estructura tridimensional completa de un tornado.

Cuando el modelo de Arsen’yev se ajusta al perfil promediado en altura, captura la forma general del campo de velocidad observado razonablemente bien (Figura 5). En particular, el decaimiento exponencial exterior del modelo se ajusta a los datos de cerca para $r \gtrsim 1$ km, confirmando que el factor $\operatorname{sech}$ es una buena descripción de cómo los vientos del tornado decaen con la distancia. Sin embargo, el modelo subestima la velocidad máxima, alcanzando aproximadamente 44 m/s comparado con el pico promedio observado de aproximadamente 54 m/s, y ubica ese pico a un radio mayor ($r \approx 0.9$ km) que los datos ($r \approx 0.5$ km). La región interior, donde el viento aumenta de cero a su máximo, por lo tanto no se captura bien. Este desajuste probablemente se debe al promediado en altura: como la velocidad máxima es mucho mayor cerca del suelo que en las alturas superiores, el perfil promediado tiene un pico más bajo y ancho que es más difícil de reproducir para el modelo con un solo conjunto de parámetros.

Estos resultados sugieren que el modelo de Arsen’yev es una descripción útil pero incompleta de la estructura del vórtice de un tornado. Su derivación asume un flujo axisimétrico integrado verticalmente, lo cual suaviza la fuerte dependencia de la altura observada en los datos de Mulhall. Una mejor comparación requeriría ajustar el modelo independientemente a cada altitud, o extender el marco teórico para tomar en cuenta el perfil vertical del viento. A pesar de estas limitaciones, el modelo de Arsen’yev es una mejora clara sobre los modelos de Rankine y Burgers-Rott. Es el único de los tres que predice correctamente un decaimiento rápido y exponencial de la velocidad del viento fuera del núcleo, una característica que es físicamente real e importa para estimar el potencial de daño y qué tan lejos se extienden los vientos peligrosos desde un tornado.

Referencias

[1] W. J. Rankine. A Manual of Applied Mathematics. Charles Griffon, Londres, 1882.

[2] J. M. Burgers. A mathematical model illustrating the theory of turbulence. Advances in Applied Mechanics, 1:171–199, 1948.

[3] N. Rott. On the viscous core of a line vortex. Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik ZAMP, 9(5–6):543–553, 1958.

[4] S. A. Arsen’yev. Mathematical modeling of tornadoes and squall storms. Geoscience Frontiers, 2(2):215–221, 2011.

[5] W.-C. Lee y J. Wurman. Diagnosed three-dimensional axisymmetric structure of the Mulhall tornado on 3 May 1999. Journal of the Atmospheric Sciences, 62(7):2373–2393, 2005.

[6] R. Rotunno. The fluid dynamics of tornadoes. Annual Review of Fluid Mechanics, 45:59–84, 2013.

[7] K. Kilty. Steady-state tornado vortex models. Kilty’s Office, pp. 1–14, 2005.

[8] B. Khouider. Class Notes: Waves in the Atmosphere and the Ocean, pp. 32–34. University of Victoria, 2018.

[9] G. J. Holland. An analytic model of the wind and pressure profiles in hurricanes. Monthly Weather Review, 108(8):1212–1218, 1980.

[10] B. Khouider. Entrevista personal. 13 de diciembre de 2018.

[11] B. Khouider. Conversación por correo electrónico. 16 de diciembre de 2018.