El Número Imaginario
Brody Reid —
En la escuela nos enseñan que nunca podemos sacar la raíz cuadrada de un número negativo, ¿verdad? Y tiene sentido por qué nos enseñan esto, porque la raíz cuadrada es la operación inversa de elevar al cuadrado, y cualquier número multiplicado por sí mismo siempre es positivo. Por ejemplo, $x = \sqrt{9}$ pregunta ¿qué número al cuadrado me da $9$? ¡Fácil! La solución es $x = \pm 3$ ya que $3^2 = 3 \times 3 = 9$ y $(-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9$. ¿Pero qué pasa con $x = \sqrt{-9}$? Pues llegamos a un callejón sin salida ya que ningún número real (es decir, cualquier número en la recta numérica: negativos, fracciones, decimales, todos) multiplicado por sí mismo puede dar un resultado negativo. ¡Pero no te preocupes, joven matemático! La pista aquí es que esto solo es cierto para los números reales… así que, ¿qué tal si inventamos números nuevos que sí den negativos al elevarlos al cuadrado? 😱
Comencemos nuestro recorrido en la recta numérica. La recta numérica es simplemente todos los números reales organizados de $-\infty$ a $+\infty$. Tiene reglas estándar para la suma y la multiplicación:
- sumar un número positivo nos mueve a la derecha por la cantidad sumada,
- restar nos mueve a la izquierda por la cantidad restada,
- multiplicar por un número positivo nos estira hacia la derecha,
- y multiplicar por un número negativo nos voltea al otro lado del $0$. Por ejemplo, empezando en $x=3$ y multiplicando por $-1$ nos voltea a $x=-3$.
La regla 4 es donde pondremos nuestra atención de aquí en adelante. Simplemente consideraremos a $-1$ como nuestro valor representativo de “multiplicar por un negativo”.
Normalmente pensamos que multiplicar por $-1$ es simplemente “hacer un número negativo”. Pero es igual de conveniente pensarlo como hacer una rotación de $\boldsymbol{180^\circ}$ alrededor del $\boldsymbol{0}$. Entonces $3 \times (-1) = -3$ significa que hicimos un giro de $180^\circ$ alrededor del $0$. Eso quiere decir que multiplicar por $-1$ dos veces produce dos medias vueltas, o una rotación completa de $360^\circ$, regresándonos a donde empezamos. Por ejemplo,
$$ \begin{align} &3 \times (-1) \times (-1) \\ &= (-3) \times (-1) \\ &= 3 \end{align} $$
Ok, entonces si multiplicar por $-1$ dos veces es una rotación completa, y multiplicar por $-1$ una vez es la mitad de una rotación… ¿podemos hacer un cuarto de rotación? A primera vista, no, ya que una rotación de $90^\circ$ no cae en la recta numérica: sería perpendicular a la recta, apuntando hacia arriba en un espacio que no existe 😳 Pero imaginemos que sí es posible. Entonces debe existir algún número $x$ que, multiplicado por sí mismo, dé $-1$. En otras palabras, multiplicar por $x$ dos veces sería lo mismo que multiplicar por $-1$ (una rotación de $180^\circ$) y multiplicar por $x$ una vez haría una rotación de $90^\circ$ hacia nuestra nueva dimensión vertical.
¡Acabamos de inventar el número imaginario!
$i$ se define como el número que multiplicado por sí mismo da $-1$, es decir
$$ i^2 = -1 \implies \boxed{i = \sqrt{-1}} \, . $$¡Listo! Buen trabajo 😊
Sin embargo… tenemos un pequeño problema. Necesitamos un lugar donde pueda caer una rotación de $90^\circ$, ya que por el momento solo tenemos la dirección horizontal de nuestra recta numérica. ¡Pues extendamos la recta numérica con un nuevo eje vertical hecho de números imaginarios (múltiplos de $i$)! Esto crea un plano bidimensional donde el eje horizontal es real y el eje vertical es imaginario. De esta forma, cuando multipliquemos un número real por $i$ (cuarto de vuelta), caeremos en nuestro nuevo eje vertical. Por ejemplo, si empezamos en $2$ y multiplicamos por $i$ llegamos a $2 \times i = 2i$, ¡que efectivamente es una rotación de $90^\circ$!
Y si en cambio multiplicamos $2$ por $i$ dos veces, haremos una rotación de $180^\circ$ ya que
$$ \begin{align} 2 \times i \times i &= 2 \times \underbrace{i^2}_{-1} \\ &= 2 \times (-1) \\ &= -2. \end{align} $$
¡Y así de fácil, estamos inventando matemáticas!
Sigamos con nuestro recorrido y veamos qué pasa cuando seguimos multiplicando por $i$. Digamos que empezamos en $1$ y multiplicamos por $i$ repetidamente, ¿qué pasará?
- $i^1 = i \ $ (un giro de $90^\circ$, apuntando hacia arriba en el eje imaginario)
- $i^2 = i \times i = -1 \ $ (otros $90^\circ$, apuntando a la izquierda en el eje real)
- $i^3 = i^2 \times i = -1 \times i = -i \ $ (otros $90^\circ$, apuntando hacia abajo en el eje imaginario)
- $i^4 = i^3 \times i = -i \times i = -i^2 = 1 \ $ (otros $90^\circ$ más, ¡y regresamos a donde empezamos!)
Después de cuatro cuartos de vuelta completamos una rotación de $360^\circ$ y caímos justo donde empezamos, en $1$. ¡Eso es lo que hace $i$! ¡Rota! Ahí lo tienen. Lo que empezó como una pregunta aparentemente imposible, ¿cuál es la raíz cuadrada de un número negativo?, nos llevó a inventar toda una nueva dimensión de números. Y no inventamos algo abstracto sin sentido: $i$ tiene un hermoso significado geométrico como una rotación de $90^\circ$, extendiendo elegantemente la recta numérica a un plano bidimensional completo. No tan “imaginario” en mi opinión 😊
Mira este video para otra gran explicación de $i$.