Elevar Ambos Lados al Cuadrado
Brody Reid —
Divulgación sobre el Uso de IA
Este documento fue revisado con asistencia de escritura de Claude (Anthropic), accedido a través de Claude Code. La IA se utilizó para ayudar a reescribir y mejorar la claridad del texto. Todo el contenido matemático, análisis y conclusiones son del autor. La versión final fue revisada y editada por Brody Reid.
Cuando daba clases particulares de matemáticas a estudiantes de prepa, me encontraba seguido con confusiones sobre cómo despejar variables en ecuaciones monomiales. Era muy común escuchar: “¿podemos pasar la variable al otro lado?” La respuesta es sí, pero esto refleja una comprensión incompleta de lo que realmente le pasa al valor que estamos “pasando”. Lo que hacemos, les explicaba, es multiplicar por el mismo valor en ambos lados (o más general, aplicamos la misma operación a ambos lados). Por eso parece que el valor se mueve de un lado al otro. Déjenme darles un ejemplo. Digamos que tenemos la siguiente ecuación
\[ \left| \operatorname{sen} x \right| = \frac{\sqrt{y}}{2} \]y queremos despejar $y$. Nuestro primer paso será multiplicar ambos lados del signo igual por 2.
\[ \begin{align} 2 \left| \operatorname{sen} x \right| &= 2 \left( \frac{\sqrt{y}}{2} \right) \\[0.25em] 2 \left| \operatorname{sen} x \right| &= \cancel{2} \left( \frac{\sqrt{y}}{\cancel{2}} \right) \\[0.25em] 2 \left| \operatorname{sen} x \right| &= \sqrt{y} \tag{1}\label{eq:1} \end{align} \]¡Y como por arte de magia, el 2 se pasó al otro lado del signo igual! Ahora vamos a dejar $y$ solita. Ya los escucho gritando desde su casa: “¡eleva ambos lados al cuadrado!” Pero, ¿qué significa esto? Si elevamos ambos lados al cuadrado, estaríamos multiplicando el lado izquierdo (LI) por $2 \left| \operatorname{sen} x \right|$ y el lado derecho (LD) por $\sqrt y$. Pero espera… ¡estos son diferentes! ¿No se supone que solo podemos multiplicar por el mismo valor en ambos lados?
¡Sí, tienes razón!
Pero recordemos qué significa el signo igual: el LI es igual al LD. Por lo tanto, cuando multiplicamos el LI por sí mismo y el LD por sí mismo, sí estamos multiplicando por lo mismo. Permítanme demostrarlo: si tenemos $a, b \in \mathbb{R}$ y
\[ a = b \]entonces al elevar ambos lados al cuadrado obtenemos
\[ a \cdot a = b \cdot b \\ a^2 = b^2 \]lo cual es válido porque $a$ y $b$ tienen el mismo valor, solo están escritos de forma diferente.
Continuemos con nuestro ejemplo. Si elevamos ambos lados de $\eqref{eq:1}$ al cuadrado, obtenemos
\[ \begin{align} 2 \left| \operatorname{sen} x \right| \left( 2 \left| \operatorname{sen} x \right| \right) = \sqrt{y} \left( \sqrt{y} \right) \\[0.25em] \boxed{4 \operatorname{sen}^2 x = y, \quad y \ge 0} \end{align} \]Noten que incluimos la condición de que $y$ debe ser mayor o igual a cero. Esto es porque la ecuación original contenía una raíz cuadrada, así que los valores negativos de $y$ no están permitidos.
¡Y nomás por diversión, grafiquemos la función!
Gráfica de $y=4\operatorname{sen}^2 x$
