Guía de Estudio de Precálculo
Brody Reid —
Divulgación sobre el Uso de IA
Este documento fue revisado con asistencia de escritura de Claude (Anthropic), accedido a través de Claude Code. La IA se utilizó para ayudar a reescribir y mejorar la claridad del texto. Todo el contenido matemático, análisis y conclusiones son del autor. La versión final fue revisada y editada por Brody Reid.
Trigonometría del Triángulo Rectángulo
SOH CAH TOA
Para un triángulo rectángulo con ángulo $\theta$, cateto opuesto $O$, cateto adyacente $A$ e hipotenusa $H$:
\[ \begin{align} \operatorname{sen} \theta &= \frac{O}{H}\\[0.5em] \cos \theta &= \frac{A}{H}\\[0.5em] \tan \theta &= \frac{O}{A} \end{align} \]Ejemplo: Una escalera se recarga contra una pared formando un ángulo de $60^\circ$ con el piso. Si la escalera mide $10$ m, ¿a qué altura de la pared llega?
La pared es el cateto opuesto al ángulo y la escalera es la hipotenusa, así que usamos SOH: $\operatorname{sen} 60^\circ = \frac{O}{10}$. Como $\operatorname{sen} 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$, obtenemos $O = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \approx 8.66$ m.
Círculo Unitario
Ejemplo 1: ¿Cuánto vale $\cos \pi$?
En $\theta = \pi$ (o $180^\circ$), estamos a la mitad del círculo, en el punto $(-1,0)$. Como $\cos \theta$ es la coordenada $x$, $\cos \pi = -1$.
Ejemplo 2: ¿Cuánto vale $\operatorname{sen} 2\pi$?
En $\theta = 2\pi$ (o $360^\circ$), completamos una vuelta entera y regresamos al punto de inicio: $(1,0)$. Como $\operatorname{sen} \theta$ es la coordenada $y$, $\operatorname{sen} 2\pi = 0$. Nota: el círculo unitario es periódico — los valores se repiten cada $2\pi$, así que $\operatorname{sen}(\theta) = \operatorname{sen}(\theta + 2n\pi)$ para cualquier entero $n$.
Triángulos Notables
Ejemplo 1: Encuentra el valor exacto de $\operatorname{sen}(45^\circ)$.
Del triángulo 45-45-90, el cateto opuesto a $45^\circ$ mide $1$ y la hipotenusa mide $\sqrt{2}$. Entonces $\operatorname{sen}(45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ejemplo 2: Encuentra el valor exacto de $\cos(\pi/6)$.
Del triángulo 30-60-90, el cateto adyacente a $\pi/6$ (o $30^\circ$) mide $\sqrt{3}$ y la hipotenusa mide $2$. Entonces $\cos(\pi/6) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Identidades Trigonométricas
Funciones Recíprocas
\[ \begin{align} \csc x &= \frac{1}{\operatorname{sen} x} \\[0.5em] \sec x &= \frac{1}{\cos x} \\[0.5em] \cot x &= \frac{1}{\tan x} = \frac{\cos x}{\operatorname{sen} x} \end{align} \]Identidades Pitagóricas
\[ \begin{align} \cos^2x + \operatorname{sen}^2x &= 1 \\[0.5em] \sec^2x - \tan^2x &= 1 \\[0.5em] \csc^2x - \cot^2x &= 1 \end{align} \]Fórmulas de Suma y Diferencia
\[ \begin{align} \operatorname{sen}(x \pm y) &= \operatorname{sen} x \cos y \pm \cos x \operatorname{sen} y \\[0.5em] \cos(x \pm y) &= \cos x \cos y \mp \operatorname{sen} x \operatorname{sen} y \\[0.5em] \tan(x \pm y) &= \frac{\tan x \pm \tan y}{1 \mp \tan x \tan y} \end{align} \]Ejemplo: Encuentra el valor exacto de $\operatorname{sen}(75^\circ)$.
Escribimos $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$ y aplicamos la fórmula de suma: $\operatorname{sen}(45^\circ + 30^\circ) = \operatorname{sen} 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \operatorname{sen} 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.
Identidades de Ángulo Doble
\[ \begin{align} \operatorname{sen}(2x) &= 2\operatorname{sen} x \cos x \\[0.5em] \cos(2x) &= \cos^2x - \operatorname{sen}^2x \\ &= 2\cos^2x - 1 \\ &= 1 - 2\operatorname{sen}^2x \\[0.5em] \tan(2x) &= \frac{2\tan x}{1 - \tan^2x} \end{align} \]Funciones Trigonométricas Inversas
Si necesitas despejar el ángulo, aplica la función trigonométrica inversa a ambos lados. La inversa “deshace” la función original para recuperar el ángulo.
\[ \operatorname{sen}(\textcolor{red}{\theta}) = x \iff \operatorname{sen}^{-1}(x) = \textcolor{red}{\theta} \]\[ \operatorname{sen}^{-1}(x) = \operatorname{arcsen}(x)\\[0.5em] \cos^{-1}(x) = \arccos(x)\\[0.5em] \tan^{-1}(x) = \arctan(x) \]Ejemplo 1: Resuelve para $\theta$ en $\operatorname{sen} \theta = 1$.
Aplicamos $\operatorname{sen}^{-1}$ a ambos lados: $\cancel{\operatorname{sen}^{-1}}(\cancel{\operatorname{sen}}\, \theta) = \operatorname{sen}^{-1}(1)$. Ahora $\operatorname{sen}^{-1}(1)$ nos pregunta: "¿qué ángulo tiene un seno igual a $1$?" Ese es $\frac{\pi}{2}$, así que $\theta = \frac{\pi}{2} = 90^\circ$.
Ejemplo 2: Resuelve para $\theta$ en $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Aplicamos $\cos^{-1}$ a ambos lados: $\cancel{\cos^{-1}}(\cancel{\cos}\, \theta) = \cos^{-1}\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Ahora $\cos^{-1}\!\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ nos pregunta: "¿qué ángulo tiene un coseno igual a $\frac{\sqrt{3}}{2}$?" Ese es $\frac{\pi}{6}$, así que $\theta = \frac{\pi}{6} = 30^\circ$.
Logaritmos
Recuerda que $\log_b(x)$ nos pregunta: “¿$b$ elevado a qué potencia me da $x$?”
\[ b^{\textcolor{red}{y}} = x \iff \log_b (x) = \textcolor{red}{y} \]\[ \begin{align} \log \left(M^k\right) &= k \log(M)\\[0.5em] \log (\mathit{MN}) &= \log (M) + \log (N)\\[0.5em] \log \left(\frac{M}{N}\right) &= \log(M) - \log(N) \end{align} \]Ejemplo: ¿Cuánto vale $\log_2(8)$?
Nos preguntamos: "¿$2$ elevado a qué potencia me da $8$?" Pues $2^{\textcolor{red}{3}} = 8$, así que $\log_2(8) = 3$.
Ejemplo: Expande $\log_3\!\left(\frac{x^4}{y}\right)$.
Aplicamos la ley del cociente y luego la ley de la potencia: $\log_3\!\left(\frac{x^4}{y}\right) = \log_3(x^4) - \log_3(y) = 4\log_3(x) - \log_3(y)$.
Ejemplo: Resuelve $2^x = 10$.
Aplicamos $\log_2$ a ambos lados: $x = \log_2(10)$. Usando la fórmula de cambio de base: $x = \frac{\ln 10}{\ln 2} \approx 3.32$.