Conjuntos Infinitos
Brody Reid —
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Un resultado de la teoría de conjuntos que siempre me ha inquietado es que ciertos conjuntos infinitos tienen el mismo número de elementos. ¿Conjuntos interminables del mismo tamaño?! ¡No te creo, Brody! Lo sé… pero por más contraintuitivo que parezca, podemos demostrar matemáticamente que así es.
Primero construyamos algo de intuición con un ejemplo finito. Supongamos que organizamos una cena con $8$ lugares en la mesa e invitamos a $7$ personas. En notación de conjuntos podemos representar a nuestros invitados como el conjunto $I$ y los lugares como el conjunto $L$:
$$ I = \{ \, i_1, i_2, i_3, i_4, i_5, i_6, i_7, i_8 \, \} \\ L = \{ \, l_1, l_2, l_3, l_4, l_5, l_6, l_7, l_8 \, \} $$Como hay $8$ personas ($7$ invitados más nosotros) y $8$ lugares, podemos emparejar a cada persona con exactamente un lugar, sin que sobre ninguno. Una forma sencilla de asignar a todos un lugar es emparejar al primer invitado con el primer lugar, al segundo invitado con el segundo lugar, y así sucesivamente. Entonces para nuestros $8$ invitados, el mapa de $I$ a $L$ se vería así
$$ \begin{array}{ccc} i_1 & \mapsto & l_1 \\ i_2 & \mapsto & l_2 \\ i_3 & \mapsto & l_3 \\ i_4 & \mapsto & l_4 \\ i_5 & \mapsto & l_5 \\ i_6 & \mapsto & l_6 \\ i_7 & \mapsto & l_7 \\ i_8 & \mapsto & l_8 \end{array} $$Matemáticamente, podemos escribir esto como la función
$$ f(i_j) = l_j \quad \text{para } j = 1, \dots, 8 $$A esta función $f$ le llamamos correspondencia uno a uno porque cada lugar está ocupado y ningún par de invitados comparte el mismo lugar.
Esto importa porque siempre que exista una correspondencia uno a uno entre dos conjuntos, los conjuntos deben tener la misma cardinalidad (es decir, el mismo tamaño). Escribimos esto como $|I| = |L| = 8$, donde las barras verticales denotan cardinalidad. Pero claro, eso ya lo sabíamos porque podíamos simplemente contar los elementos de cada uno. ¡Pero ese es el punto! Tomamos un hecho obvio y creamos una forma matemática de determinar el tamaño de dos conjuntos sin contar los elementos. Esto es útil si queremos determinar el tamaño de conjuntos demasiado grandes para contar 👀.
¡Usemos nuestro nuevo concepto de correspondencias uno a uno para abordar algunos conjuntos infinitos!
Consideremos dos conjuntos infinitos: los enteros, que denotamos por $\mathbb{Z}$, y los enteros positivos (también llamados números naturales), que denotamos por $\mathbb{N}$. Los enteros son todos los números enteros desde $- \infty$ hasta $+ \infty$ y los naturales son el subconjunto positivo de estos. Es decir,
$$ \mathbb{Z} = \{ \, \dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots \, \} \ \text{y} \ \mathbb{N} = \{ \, 1,2,3,4,\dots \, \} $$Igual que en nuestro ejemplo de la cena, intentemos emparejar cada número natural con un entero. Primero, notemos que podemos reescribir los enteros sin necesidad de extendernos hasta el infinito negativo:
$$ \mathbb{Z} = \{ \, 0, -1, 1, -2, 2, -3, \dots \, \} $$Ahora creemos un mapa entre los naturales y los enteros
$$ \begin{array}{ccc} 1 & \mapsto & 0 \\ 2 & \mapsto & -1 \\ 3 & \mapsto & 1 \\ 4 & \mapsto & -2 \\ 5 & \mapsto & 2 \\ 6 & \mapsto & -3 \\ \vdots & & \vdots \end{array} $$Este patrón continuará para siempre ya que los conjuntos son infinitos. Y tal como en nuestra cena, podemos emparejar limpiamente cada elemento de cada conjunto, sin que sobre ninguno. Podemos escribir el mapa anterior como la función
$$ f(n) = \begin{cases} \dfrac{n-1}{2} &\text{si $n$ es impar} \\[6pt] -\dfrac{n}{2} &\text{si $n$ es par} \end{cases} $$No vamos a verificar esto rigurosamente, pero podemos ver en el diagrama de mapeo que cada número natural aparecerá exactamente una vez en la columna izquierda, y cada entero aparecerá exactamente una vez en la columna derecha. Entonces $f$ es una correspondencia uno a uno entre $\mathbb{N}$ y $\mathbb{Z}$, y por lo tanto
$$\boxed{|\mathbb{N}| = |\mathbb{Z}|}$$¿Se siente incorrecto? ¡Así debería ser!
Acabamos de demostrar que los enteros no son más “grandes” que los naturales, aunque $\mathbb{Z}$ claramente parece contener más números. Este es uno de esos resultados que se sienten incorrectos sin importar cuántas veces lo veas… ¡pero la lógica es impecable! Eso es algo que me encanta de las matemáticas: no les importan nuestras intuiciones 🥲
Una pregunta natural que surge de este resultado es: ¿todos los conjuntos infinitos son del mismo tamaño? Bueno, intentemos la misma técnica que hemos estado usando y veamos si podemos construir una correspondencia uno a uno entre $\mathbb{N}$ y otros conjuntos infinitos.
Consideremos los números reales, que denotamos por $\mathbb{R}$. Los números reales son todos los números positivos, negativos, fracciones, decimales… y bueno, básicamente todo. Entonces, ¿el conjunto de los números reales es también del mismo tamaño que el conjunto de los números naturales?
Podemos pensar en los números naturales como “ordenados” en el sentido de que siempre hay un número “siguiente”. Por ejemplo, en los naturales no hay ningún número entre, digamos, $4$ y $5$. Es simplemente $4$ y luego $5$. Los naturales son discretos, es decir, hay un espacio limpio entre cualquier número natural y su vecino. Ahora tomemos dos números reales, digamos $0.1$ y $0.2$. ¿Qué hay entre ellos? Bueno, $0.15$. ¿Y entre $0.1$ y $0.15$? Está el $0.12$. ¿Y entre $0.1$ y $0.12$? Está el $0.11$… Esto nunca se detiene. Sin importar qué números reales elijas, siempre puedes encontrar otro escondido entre ellos. A diferencia de los naturales, los reales son continuos: nunca hay un número “siguiente”.
Para ver el problema que esto crea, consideremos qué pasaría si intentáramos emparejar los naturales con los reales. Tenemos que empezar en algún lugar, así que mapeemos $1 \mapsto 0$. ¡Genial! ¿Pero entonces a qué mapearía el $2$? Debería ser el siguiente número real después de $0$, ¿no? ¿Quizás $0.01$? No, porque $0.001$ sería un paso más pequeño. ¿Y qué tal $0.0001$ o $0.00001$ o $0.000001$? ¿Ves el problema, verdad? Cualquier número que elijamos deja infinitos números entre él y $0$. Como no hay un número real “siguiente”, no podemos listarlos en orden para crear una correspondencia uno a uno ☹️
Bueno, no podemos listar los reales en orden, ¡pero nuestra correspondencia entre $\mathbb{N}$ y $\mathbb{Z}$ tampoco estaba en orden! Para realmente descartar una correspondencia uno a uno, necesitamos demostrar que ningún listado de los reales funciona, en ningún orden. Para esto, solo necesitamos ver el intervalo $(0, 1)$. Como $(0, 1)$ es un subconjunto de $\mathbb{R}$, si no podemos listar todos los números reales en $(0, 1)$ entonces ciertamente no podremos listar todos los de $\mathbb{R}$.
Entonces supongamos que pudiéramos listar todos los números reales en $(0, 1)$. Nuestro mapa se vería así
$$ \begin{array}{ccc} 1 & \mapsto & 0.2519012 \dots \\ 2 & \mapsto & 0.9431434 \dots \\ 3 & \mapsto & 0.7811852 \dots \\ 4 & \mapsto & 0.3141591 \dots \\ 5 & \mapsto & 0.7071067 \dots \\ 6 & \mapsto & 0.1414293 \dots \\ 7 & \mapsto & 0.2718281 \dots \\ \vdots & & \vdots \end{array} $$Nuestra suposición es que esta lista contiene todos los números reales en $(0, 1)$. Entonces, si podemos encontrar aunque sea un solo número que no esté en la lista, nuestra suposición debe ser incorrecta.
Observemos los dígitos azules a lo largo de la diagonal de la cuadrícula de abajo: $2, 4, 1, 1, 0, 9, 1, \dots$ Ahora usemos estos dígitos para construir un nuevo número. La regla es sencilla: a cada dígito diagonal le sumamos $1$ (si el dígito es $9$, lo regresamos a $0$). Entonces $2$ se convierte en $3$, $4$ se convierte en $5$, $1$ se convierte en $2$, y así sucesivamente, dándonos un nuevo número $0.3522102\dots$
$$ \begin{array}{c@{\ }c@{\ }c@{\ }c@{\ }c@{\ }c@{\ }c@{\ }c@{\ }c} 0. & {\color{blue}2} & 5 & 1 & 9 & 0 & 1 & 2 & \cdots \\ 0. & 9 & {\color{blue}4} & 3 & 1 & 4 & 3 & 4 & \cdots \\ 0. & 7 & 8 & {\color{blue}1} & 1 & 8 & 5 & 2 & \cdots \\ 0. & 3 & 1 & 4 & {\color{blue}1} & 5 & 9 & 1 & \cdots \\ 0. & 7 & 0 & 7 & 1 & {\color{blue}0} & 6 & 7 & \cdots \\ 0. & 1 & 4 & 1 & 4 & 2 & {\color{blue}9} & 3 & \cdots \\ 0. & 2 & 7 & 1 & 8 & 2 & 8 & {\color{blue}1} & \cdots \\ &&&&\vdots&&&& \end{array} $$¿Por qué este número no puede estar en nuestra lista? Porque lo construimos para que difiera de cada entrada. Difiere del primer número en el primer lugar decimal, del segundo número en el segundo lugar decimal, del tercero en el tercero, y así sucesivamente. Sin importar qué tan abajo en la lista vayamos, nuestro nuevo número está garantizado a diferir de esa entrada en el dígito correspondiente.
Entonces nuestro nuevo número no está en la lista, pero claramente está en el intervalo $(0,1)$. Esto contradice nuestra suposición de que la lista contenía todos los números reales en $(0,1)$. Por lo tanto, no puede existir una correspondencia uno a uno entre $\mathbb{N}$ y $\mathbb{R}$, lo que significa que
$$ \boxed{|\mathbb{N}| \lt |\mathbb{R}|} $$A diferencia de los naturales, que tenían espacios limpios entre sus elementos, los reales son tan densamente empaquetados que no pueden listarse uno por uno, sin importar qué tan ingeniosamente lo intentemos. Aunque ambos conjuntos son infinitos, ¡uno es genuinamente más grande que el otro! Este resultado se conoce como el argumento diagonal de Cantor, y fue la primera demostración de que existen diferentes tamaños de infinito 😳 Y es uno de mis resultados favoritos en todas las matemáticas.
Anteriormente mostramos que $|\mathbb{N}| = |\mathbb{Z}|$, así que los naturales y los enteros son del “mismo tamaño de infinito”. Pero los reales son estrictamente más grandes… ¡No todos los infinitos son iguales!